Des triangles d'or et d'argent

On considère un pentagone régulier \(\text{ABCDE}\) de côté \(1\).
On trace la diagonale \(\text{[AC]}\) et la diagonale \(\text{[BD]}\). Soit \(\text{H}\) leur point d'intersection.
On trace la diagonale \(\text{[BE]}\). Soit \(\text{K}\) son point d'intersection avec la diagonale \(\text{[AC]}\).

1. Déterminer la mesure en degrés de l'angle \(\widehat{\text{BAC}}\) et de l'angle \(\widehat{\text{ABE}}\).
2. Justifier que les triangles \({\text{ABK}}\) et \({\text{BHC}}\) sont égaux, puis que le triangle \({\text{BKH}}\) est isocèle et que \(\widehat{\text{KBH}}=36°\).
3. En déduire que le triangle \({\text{ABH}}\) est isocèle avec \(\widehat{\text{KBH}}=\widehat{\text{BAH}}\).
4. Les triangles \({\text{BAH}}\) et \({\text{HBK}}\) sont donc semblables. Établir \(\dfrac{1}{\text{BH}}=\dfrac{\text{BH}}{1-\text{BH}}\).
5. Soit \(a=\text{BH}\), démontrer que l'on a \(a^2+a-1=0\).
La solution positive de cette équation est \(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\).
6. Démontrer que \(\text{AC}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\). Ce nombre s'appelle nombre d'or et se note, usuellement, avec la lettre \(\phi\). Établir que le triangle \(\text{ABC}\) est isocèle de base \(\phi\) et de côté \(1.\)
7. Établir que le triangle \(\text{EBD}\) est isocèle de base \(1\) et de côté \(\phi.\)

On a établi le résultat suivant.

Propriété 
Dans un pentagone régulier de côté \(1\), toute diagonale mesure \(\phi\).

Et on a identifié deux triangles isocèles particuliers.
Le triangle d'or

Le triangle d'argent